145 ความเห็นในกระทู้นี้

[ทรงธรรม]

อย่างงี้ อะคุณ Gop คือเมื่อกี้ ผมลองไปเทียบ สองสมการ มาอะ

 

คือ ผมลอง เปลี่ยน สมการ ของ euclid เป็น สมการ ของ cosine

 

ผมก็เทียบ |CB| = c  ,  |BA| = a ,  |AC| = b

 

และ |AD| = z ,  |BD| = x ,  |DC| = y เสร็จแล้ว

 

ก็เปลี่ยนสมการ ย้ายข้าง ถอดรูปมันออก

 

จาก |AC|^2 = |CB|^2 + |BA|^2 - 2(|CB| |BD|)

 

เป็น |CB|^2 = - |BA|^2 + |AC|^2 + 2(|BD|^2 + |BD| |DC| )

 

ซึ่งเทียบกับของ cosine ก็เป็น

 

c^2 = - a^2 + b^2  + 2x^2 + 2xy

 

ซึ่ง a^2 = x^2 + z^2 และ b^2 = y^2 + z^2

 

แทนค่าเข้าไป เป็น

 

c^2 = -x^2 - z^2 + y^2 + z^2 + 2x^2 +2xy

 

ลดรูปเหลือ

 

c^2 = x^2 + y^2 + 2xy

 

ซึ่งตรงกับ กฏ cosine ข้อหนึ่ง

 

และ ถ้าเทียบ จากกฏ cosine ไปหา euclid

 

ก็เอา c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos(alpha + beta))

 

ซึ่งเท่ากับ c^2 = x^2 + z^2 + y^2 + z^2 - 2 z^2 + 2xy

 

พอลดรูป ก็เหลือ

 

c^2 = x^2 + y^2 + 2xy เช่นกัน

 

มันเลยพ้องกันด้วยเหตุฉะนี้ อะครับ ไม่รู้มั่วหรือเปล่า

Edited by ทรงธรรม, 3 ตุลาคม พ.ศ. 2556 - 12:41.

[Gop]

นี่ครับ พิสูจน์ Law of Cosine แบบตรงไปตรงมา ผมว่าแทบไม่ต้องทำความเข้าใจเลยนะครับ มันก็แค่ใช้ไพธากอรัส กับคุณสมบัติของ sine กับ cos แค่นั้นเอง

 

[Gop]

อย่างงี้ อะคุณ Gop คือเมื่อกี้ ผมลองไปเทียบ สองสมการ มาอะ

 

คือ ผมลอง เปลี่ยน สมการ ของ euclid เป็น สมการ ของ cosine

 

ผมก็เทียบ |CB| = c  ,  |BA| = a ,  |AC| = b

 

และ |AD| = z ,  |BD| = x ,  |DC| = y เสร็จแล้ว

 

ก็เปลี่ยนสมการ ย้ายข้าง ถอดรูปมันออก

 

จาก |AC|^2 = |CB|^2 + |BA|^2 - 2(|CB| |BD|)

 

เป็น |CB|^2 = - |BA|^2 + |AC|^2 + 2(|BD|^2 + |BD| |DC| )

 

ซึ่งเทียบกับของ cosine ก็เป็น

 

c^2 = - a^2 + b^2  + 2x^2 + 2xy

 

ซึ่ง a^2 = x^2 + z^2 และ b^2 = y^2 + z^2

 

แทนค่าเข้าไป เป็น

 

c^2 = -x^2 - z^2 + y^2 + z^2 + 2x^2 +2xy

 

ลดรูปเหลือ

 

c^2 = x^2 + y^2 + 2xy

 

ซึ่งตรงกับ กฏ cosine ข้อหนึ่ง

 

และ ถ้าเทียบ จากกฏ cosine ไปหา euclid

 

ก็เอา c^2 = a^2 + b^2 - 2ab(cos(alpha + beta))

 

ซึ่งเท่ากับ c^2 = x^2 + z^2 + y^2 + z^2 - 2 z^2 + 2xy

 

พอลดรูป ก็เหลือ

 

c^2 = x^2 + y^2 + 2xy เช่นกัน

 

มันเลยพ้องกันด้วยเหตุฉะนี้ อะครับ ไม่รู้มั่วหรือเปล่า

 

ผมอ่านคร่าวๆนะครับ

 

ผมว่าแบบนี้ถือว่าใช้ได้แล้ว ไม่ว่าเราจะพิสูจน์ทางไหน ก็ใช้ได้เหมือนกัน เพียงแต่เราต้องแสดงให้เห็นว่าสิ่งที่เราทำนั้นครอบคลุมทุกกรณี อย่างตอนแรกที่คุณยกเป็นตัวเลขนั้น ไม่ถือว่าเป็นการพิสูจน์นะครับ ภาษาอังกฤษเค้าเรียกว่า verify ไม่ใช่ prove ครับ

 

ส่วนเรื่องเวคเตอร์ เดี๋ยวผมเช็คดูอีกทีก่อน ตอนแรกคิดว่าสามารถพิสูจน์สั้นๆได้ แต่ปรากฏว่าไม่ง่ายอย่างที่คิด ที่ผมมองว่าเป็น common sense นั้นก็เพราะว่า ในสองมิติ เราต้องการพิกัดสองค่า ในสามมิติ เราก็ต้องการสามพิกัด ไม่ว่าจะเป็นแบบ xyz หรือ เส้นรุ้ง เส้นแวง บวกความสูง มันก็ต้องการแค่สามอย่างก็พอ

 

ถ้าคิดในแง่การเคลื่อนที่ ลองนึกดูว่า ถ้าผมกำหนดพิกัดมาจุดหนึ่งบนพื้นดิน ( สองมิติ ) ถ้าผมบังคับให้คุณหันหน้าไปทางไดทางหนึ่งตอนเริ่มต้น ( ทิศตามเวคเตอร์แรก ) แล้วอนุญาตให้คุณ เปลี่ยนทิศการเดินได้หนึ่งครั้ง ( ตามทิศของเวคเตอร์ที่สอง ) แต่เป็นมุมที่ผมสั่งเท่านั้น คุณสามารถเดินไปที่จุดที่ผมกำหนดได้หรือไม่ ลองนึกดูดีๆครับ

[ทรงธรรม]

[ทรงธรรม]

ช่วยผม ดูหน่อยครับว่า ผมเข้าใจผิด บ้างไหม

 

คือผมลองทำข้อแรก แบบนี้ นะครับ คือ หา A B C ก่อน

 

ก็หาจาก y = mx + c โดย y = -x + 0

 

A เท่ากับ 1 (คือ ไม่รู้จะเริ่มยังไง 1 ไว้ก่อน)

 

B หาจาก m = -A/B ดังนั้น จะได้ -A/m ก็ -(1)/-1 = 1

 

C หาจาก c = -C/B ดังนั้น จะได้ -cB ก็ -0(1) = 0

 

ก็ได้เป็น x + y = 0 เป็น linear equation

 

ต่อมา หา vector parametric ผมไปค้นมา แต่ไม่รู้ถูกไหม

 

คือ ต้อง หาจาก จุดเริ่มต้น ในข้อแรก เป็น (0 , 0) เคลื่อนที่ไป ด้วย vector v

 

v ในข้อนี้ จะเป็น 1 i  + -1 j  (ไม่มี k เพราะเป็น 2 มิติ)

 

ก็จะเป็น p(t) = ( 0 , 0) + t ( 1, -1)

 

ต่อมา หา parametric equation ก็เอา ของ vector มาลงเป็น

 

ตัวแปร x กับ y ก็จะได้

 

x = 0  + 1t  และ y = 0  - 1t

 

แบบนี้ หรือเปล่าครับ

[ทรงธรรม]

ต่อที่ข้อสอง มีจุดให้ วางข้อคิดเพิ่ม

 

จาก y = -2x + 1 จะได้ A = 2 , B = 1 , C = -1

 

ก็จะได้ 2x + y - 1 = 0

 

คราวนี้ ก็ vector parametric ก็จะเริ่มที่จุด เริ่ม คือ ( 0 , 1 )

 

พอหา vector มีปัญหาให้วางข้อคิดหน่อย คือ จะให้ i และ j

 

มี ตัวข้างหน้าเป็น อะไร ก็เลยมาดู ที่ m ซึ่งจริง ๆ จะหาจาก

 

delta y / delta x ซึ่งในข้อนี้ m = -2 ดังนั้น ก็จะเป็น

 

delta y = -2 แล้ว delta x = 1 เนื่องจาก ถ้ามองจากกราฟ

 

จะเป็นรูป เฉียงลงทางขวา คือ y ลดลง -2 ต่อ x เพิ่มขึ้น 1

 

ดังนั้น v = 1 i  - 2 j  และ สมการ vector เท่ากับ

 

p(t) = ( 0 , 1 ) + t ( 1 , -2)

 

สมการ parametric เท่ากับ

 

x = 0 + t  และ y = 1  - 2 t

 

 

 

ผมมีคำถาม เพิ่มครับ ถ้า มี point อยู่ 2 จุด

 

เ่ช่น p ( 1, 3, -2 ) และ q ( 2, 1, 2 ) แต่ใช้ vector ตัวเดียวกันนำทาง

 

คือ ( -3 , 3, -2 ) เ่ช่นนี้ เส้นที่เกิดจาก จุดเริ่มต้น p (t) = ( 1, 3, -2 ) + t( -3 , 3, -2 )

 

จะขนานกับ q (t) = ( 2, 1, 2 ) + t( -3 , 3, -2 ) หรือเปล่าครับ

Edited by ทรงธรรม, 4 ตุลาคม พ.ศ. 2556 - 16:25.

[ทรงธรรม]

ขอใช้ เป็น ที่โน้ต หน่อยครับ

 

จาก สูตร ของ เฮรอน ในการหาพื้นที่ สามเหลี่ยม

 

โดย หาจาก ด้าน 3 ด้าน ของ สามเหลี่ยม

 

 

ขั้นแรก ก็ หา ด้านใด ด้านหนึ่ง ให้เป็นหลัก

 

แล้ว ก็ มองมุม ตรงข้าม ของด้านนั้น

 

เช่น ด้าน c ก็มอง มุม C ถ้ากรณี เป็นมุมป้าน จากรูป

 

 

[ทรงธรรม]

ก็ ต้องทำการ คิดเพื่อ พิสูจน์ สมการ ซึ่ง สำหรับ มุมป้าน จะเป็น

 

c^2 = a^2 + b^2 + 2a CD

 

ซึ่ง  CD ในที่นี้ ก็คือ cos (มุม C) b นั่นเอง

 

จากสมการ ปีทากอรัส c^2 = (AD)^2 + (BD)^2

 

AD = sin(มุม C) b

 

BD = a + cos (มุม C) b

 

นำมาปรับสมการ เป็น c^2 = [sin©b]^2 + [ a + cos©b]^2

 

ก็ขยายเป็น c^2 = [sin©b]^2 + [ a^2 + 2a cos©b + [cos©b]^2 ]

 

ก็ตัด [sin©b]^2 + [cos©b]^2 เหลือแค่ b^2 ตามสูตรสำเร็จของ sin และ cos

 

ซึ่ง จริง ๆ สูตรนี้ ก็น่าจะคิดง่าย ๆ จากสูตร ของ เวกเตอร์ ใน 2 มิติ ที่ว่า

 

เวกเตอร์ v จะเท่ากับ | v | ( cos(มุมที่ทำกับแกน x) i + sin (มุึมที่ทำกับแกน y) j )

 

ซึ่งเมื่อเทียบกับ สูตร เวกเตอร์ v = | v | คุณด้วย unit vector ทิศทางเดียวกับ เวกเตอร์ v

 

ก็จะเท่ากับ [cos(x) i]^2 + [sin(y) j]^2 ต้องเท่ากับ 1 เพราะเมื่อเข้า square root ก็จะได้ เท่ากับ 1

 

ซึ่งเป็นความยาว unit vector นั่นเอง

 

 

กลับมาที่สูตร ก็จะเป็น c^2 = a^2 + b^2 + 2a cos©b

 

ซึ่ง cos©b เท่ากับ CD นั่นเอง

 

ถ้าจะหา CD โดยกลับจาก สมการ ก็จะได้ CD = (c^2 - a^2 - b^2) / 2a

 

แล้วก็นำ CD ไปหา AD ซึ่งเป็นความสูง ของ สามเหลี่ยม

 

AD^2 = b^2 - [(c^2 - a^2 - b^2) / 2a]^2

 

ซึ่ง คำนวณต่อ ก็จะได้ AD^2 = {b^2(4a^2) - [c^4 + b^4 + a^4 + 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2] } / 4a^2

 

ลดรูป ก็จะเหลือ AD =  รากทีสองของ[2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - c^4 - b^4 - a^4] / 2a

 

แล้วเมื่อเข้าสูตรหา พื้นที่ ก็จะเป็น 1/2 คูณ AD และ คูณ a ซึ่งเป็นฐาน

 

ก็จะลดรูปเหลือ 1/4 (มาจาก 1/2 x a / 2a)

 

1/4 คูณรากที่สองของ   [2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2 - c^4 - b^4 - a^4]

[ทรงธรรม]

ถ้ากรณี C เป็นมุมแหลม สูตรก็จะกลายเป็น

 

c^2 = a^2 + b^2 - 2a CD

 

ซึ่ง  CD ในที่นี้ ก็คือ cos (มุม C) b นั่นเอง

 

แต่มีการเปลี่ยน BD เป็น a - cos©b แทน

 

เพราะ a จะครอบคลุม BD ไปแล้ว ( a = CD + BD)

 

ดังนั้น ตัวหลังจาก + 2a CD จึงกลายเป็น - 2a CD

 

 

พอนำไปหา  CD ก็จะเป็น c^2 - b^2 - a^2 / -2a แทน (อันเก่า หารด้วย 2a)

 

แต่เมื่อนำไปเข้าสูตร หา AD ก็ยังได้ สูตรเดิม อยู่ดี เพราะเมื่อ

 

นำ CD ไปยกกำลังสอง -2a ก็ยังคงเป็น 4a^2 เหมือนเดิม ไม่เปลี่ยนแปลง

 

พื้นที่ สามเหลี่ยม จึงเป็นสูตรเดียวกับ มุมป้านนั่นเอง

[ทรงธรรม]

โน้ต สำหรับ กฏของ สามเหลี่ยม มุมฉาก ที่มีการลากเส้นจาก มุมฉาก

 

มาตั้งฉาก กับ เส้นตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse)

 

ก็จะสร้าง สามเหลี่ยมคล้าย ขึ้นมา อีก 2 รูป ที่คล้าย กับ ต้นฉบับ

 

จากรูป

 

 

[ทรงธรรม]

ทำการ พิสูจน์ ว่า h^2 = xy

 

ให้ มุมเบต้า เป็นมุม <ACD และ มุม อัลฟ่า เป็นมุม <BCD

 

โดย ตรีโกณมิติ h^2 = b cos(มุมเบต้า) คุณด้วย a cos(มุมอัลฟ่า)

 

และ x = b sin(มุมเบต้า)  y = a sin(มุมอัลฟ่า)

 

xy = b sin(มุมเบต้า) คูณด้วย a sin(มุมอัลฟ่า)

 

จากกฎของ co funtion “ถ้ามุมสองมุมรวมกันได้ 90 แล้ว
ค่า sin ของมุมหนึ่งจะเท่ากับค่า cos ของอีกมุม"

 

ดังนั้น cos(มุมเบต้า) = sin(มุมอัลฟ่า) และ cos(มุมอัลฟ่า) = sin(มุมเบต้า)

 

ดังนั้น b cos(มุมเบต้า) คุณด้วย a cos(มุมอัลฟ่า) = b sin(มุมเบต้า) คูณด้วย a sin(มุมอัลฟ่า)

 

หรือ h^2 = xy นั่นเอง

 

ต่อมา พิสูจน์ a^2 = yc และ b^2 = xc

 

คิดร่วมกันที่ ตามกฎปีทากอรัส ที่ว่า c^2 = a^2 + b^2

 

เมื่อ c = x+y ดังนั้น c^2 = (x+y)^2

 

a^2 + b^2 = (x+y)^2

 

และ จาก h^2 = xy

 

ตามกฎปีทากอรัส a^2 = h^2 + y^2 และ b^2 = h^2 + x^2

 

แทนค่า h^2 = xy

 

a^2 = xy + yy และ b^2 = xy + xx

 

a^2 = y(x+y) และ b^2 = x(x+y)

 

แทน (x+y) ด้วย c

 

a^2 = yc และ b^2 = xc

[ทรงธรรม]

มีคำถามกันอีกแล้วครับ

 

คราวนี้ เป็นเรื่อง การหมุนรอบแกน ครับ โจทย์ ให้หา

 

angular momentum ของการหมุนรอบแกน (ค่าเป็น vector)

 

จุดที่ผม ติดก็คือ ผมไม่แน่ใจว่า mass ของ velocity

 

มันหามายังไง นี่สิครับ

 

จะหามาจาก ขนาด ของ angular velocity (vector ขนานแกนหมุน) หรือ

 

หามาจาก ขนาดของ vector ที่เป็น การเคลื่อนที่ จากจุด

 

ตั้งต้น ที่แกนหมุน ไปจนถึง จุดที่กำหนด คือ p0 ไป p

 

หรือ หามาจาก ขนาดของ vector ที่เป็น velocity ของ จุด p

 

 

โจทย์ คือ อันนี้ ครับ

 

 

[ทรงธรรม]

อันนี้ เป็น เนื้อหา ของอาจารย์ ที่ให้สูตรมาครับ

 

 

[Gop]

อันนี้พอได้ ขอเวลาหน่อยนะครับ

ผมก็แปลกใจเหมือนกัน ว่าเค้าให้หา agular momentum โดยที่ไม่มี m ได้ด้วยหรือ?

[เรื่อยๆเอื่อยๆ]

คำตอบอาจจะติด m ไว้หรือเปล่าครับ ที่โจทย์ให้หาอาจจะสนใจแค่ผลของ เวคเตอร์ของ P ครอสกับเวคเตอร์ v  เฉยๆ (เดาเอาจากชื่อหัวข้อนะครับ) 

[phoosana]

http://www.rsu.ac.th..._7/rid_7_1.html

พอได้ไหมครับ

Edited by phoosana, 16 พฤศจิกายน พ.ศ. 2556 - 01:20.

[ทรงธรรม]

มาบันทึก ความเข้าใจ สูตร หน่อย อะครับ

 

สูตรการหา ค่าปัจจุบัน ค่าในอนาคต และ เงินผ่อนรายงวด

 

pv = ค่าปัจจุบัน

 

fv = ค่าในอนาคต

 

pmt = เงินผ่อนรายงวด

 

rate = อัตราผลตอบแทน

 

nper = จำนวนงวด

 

type = ชนิด ของการจ่ายเงินผ่อน แบ่งเป็น 0 ถ้าจ่ายในวันสุดท้าย ของงวด หรือ 1 ถ้าจ่ายในวันแรกของงวด

 

จากสูตร สำเร็จ

 

[ pv x ( 1 + rate ) ^ nper ] + [ pmt x { 1 + (rate x type) } x { (( 1 + rate) ^ nper - 1) / rate } ] + fv = 0

 

ยกตัวอย่าง

 

mr. T ให้เงินยืม แก่ สุกิต จำนวนหนึ่ง (ให้หา) โดยสุกิต จะผ่อนใช้ เป็นเงิน 1,200 บาท

 

เป็นจำนวน 10 งวด โดยเงื่อนไข จ่าย ณ วันสุดท้าย ของงวด ( type = 0 )

 

อัตรา ผลตอบแทน ณ เวลานั้น คือ 12 % ( เป็นอัตราผลตอบแทน ที่ mr. T คิดว่าจะได้รับ

 

จากการ ลงทุน ปกติ)

 

 

โจทย์ ต้องการให้หา ค่าปัจจุบัน ที่ mr.T ให้สุกิต ยืม ( ในมุม mr.T คือการจ่าย เป็นยอดติดลบ)

 

 

จากสูตรสำเร็จ จึงคิดที่ pv =   [ pmt x { 1 + (rate x type) } x { (( 1 + rate) ^ nper - 1) / rate } ]  /  [ ( 1 + rate ) ^ nper ]

[ทรงธรรม]

จากโจทย์ pmt = 1,200

 

rate = 0.12 ( 12/100 )

 

nper = 10

 

type = 0

 

จึงได้ [ 1,200 x { 1 + ( 0.12 x 0 ) } x { (( 1 + 0.12) ^ 10 - 1) / 0.12 } ]  /  [ ( 1 + 0.12 ) ^ 10 ]

 

ผลออกมา ได้ 21,058.48 / 3.105848 = 6,780.27

 

เป็นค่าปัจจุบัน ที่ mr.T ให้สุกิต ยืม

 

 

ลองคิด แบบไม่ใช้สูตร เพื่อหา ตามความเข้าใจ

 

จะแยก การคำนวน เป็น 10 งวด

 

งวดแรก 1,200 x (1 + 0.12 ) ^ 9 

 

อธิบาย คือ เงินผ่อนงวดแรก จ่าย ณ วันสุดท้าย ของงวดที่ 1

 

( เช่น ถ้างวดละ 1 ปี เริ่มยืม 1/1/2001 ก็เริ่มจ่าย 31/12/2001)

 

ยกกำลัง 9 เพราะ ปีแรก ไม่เริ่มคิด ดอกเบี้ย (เนื่องจาก เริ่มได้เงิน สิ้นงวด)

 

 

งวดสอง 1,200 x (1 + 0.12 ) ^ 8

 

ไปเรื่อย ๆ จนถึง

 

งวดที่ 10  1,200 x (1 + 0.12 ) ^ 0

 

( ไม่มีดอกเบี้ย ให้คำนวณ เพราะ เป็นวันสุดท้าย ของรอบระยะเวลา

 

การยกกำลัง ด้วย 0 ผลออกมา จะเป็น 1 เสมอ ดังนั้น เท่ากับ เงินต้น เท่านั้น)

[ทรงธรรม]

นำ การตั้งสูตร ทั้ง 10 งวด มาทำเป็น

 

สมการพหุนาม เพื่อหา ความสัมพันธ์ ของทั้ง 10 งวด

 

[ทรงธรรม]

เมื่อมาเทียบ จาก สูตร

 

ซึ่งจะหา ค่า จากเงินต้น 6,780.27

 

คูณด้วย ดอกเบี้ย 10 งวด ( สูตร ต้องการให้รู้ว่า ถ้ามีเงินต้น ตั้งแต่

 

1/1/2001 ครบ 10 ปี สิ้นสุด 31/12/2010 จะได้ เงินต้น พร้อมดอกเบี้ย เท่าใด)

 

 

ได้เท่ากับ 6,780.27 x ( 1 + 0.12 ) ^ 10

 

ซึ่งได้เท่ากับ 21,058.48

 

แต่เพื่อ การคำนวณ เทียบ ต้องใช้ สูตร pmt แทน คือ

 

1,200 x {( 1 + 0.12) ^ 10 -1 } / 0.12

 

(แทนกันได้ เนื่องจาก สูตร pv - pmt = 0 )

 

ซึ่งถ้าคิดจาก ที่คำนวณ โดยไม่ใช้สูตร

 

จาก file excel บวก ทั้ง 10 งวด เข้าด้วยกัน

 

ก็จะได้ เท่ากับ 21,058.48 เช่นกัน

 

นั่นคือ แม้จะคิดแบบใด ก็ได้ผลเท่ากัน

 

 

ดังนั้น หาความสัมพันธ์ ของการคิด ทั้ง 2 แบบ

 

 

จากสูตร ลองแตก ออกมาเพื่อหา ค่า cooficient

 

จะได้ดังนี้

 

• 
• 
• 

 

Edited by ทรงธรรม, 28 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2557 - 09:58.

[ทรงธรรม]

เมื่อสังเกต ค่า coefficient ของทั้งสองวิธี

 

จะออกมา ตรงกันเป๊ะ

 

 

ส่วน 1 ^ n และ ( 1 + 0.12 ) ^ 0

 

คำนวณ ออกมา ได้ 1 เท่ากัน

 

 

ดังนั้น ทั้งสองวิธี ไม่ว่าจากสูตร หรือ

 

ตามความเข้าใจ ก็ล้วน มาจาก ที่มาเดียวกัน

 

 

เพราะว่า ลักษณะ ของต้นไม้ binomial นั่นเอง

 

คือ ค่า coefficient จะมาจากยอดสะสม ของ

 

ขั้นการยกกำลัง ก่อนหน้าทั้งสิ้น

 

เพียงแต่ต้องมีการ หาร ด้วย rate เพื่อ

 

ลดระดับ การยกกำลัง ให้เท่ากับ รอบก่อนหน้า

 

 

อย่างเช่น ถ้ายกกำลัง 10 ให้ถอยเป็น ยกกำลัง 9

 

ไปเรื่อย ๆ

 

 

ปล แก้ไข จากการลด ค่า coefficient ลง 1 เป็น ลดค่า power ลง 1

 

ในทุกระดับ ส่วนค่า coefficient คงเดิม

Edited by ทรงธรรม, 28 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2557 - 13:53.

[ทรงธรรม]

เออ วันนี้ มีโจทย์ ที่ยากต่อการทำจริง ๆ ครับ

 

คือเป็น โจทย์ สมการที่มี binomial มาเกี่ยวด้วย

 

ซึ่งที่จริง การแก้ binomial ก็ยาก อยู่แล้ว

 

อย่าง (1+x)^26 = 21.3461

 

แบบนี้ ถ้า ขยายทุกพจน์ ต้องอ้วกแน่

 

แต่ยังแก้ได้ด้วยการ ไปใส่ root ที่ 26 ให้แก่ 21.3461

 

แล้วได้ผล +- เท่าไหร่ ค่อยมาลบ 1 ออกอีกที

 

 

แต่พอเป็น โจทย์ที่ มันพันกัน แบบนี้

 

(200x + 1)(1+x)^26 - 310x -1 =0

 

แบบนี้ ถึงกับ มึนทีเดียว เพราะ ถ้าจะกระจาย เป็นพจน์

 

ก็อ้วกแตก แน่นอน ผมทดลอง คำนวณ

 

ด้วย microsoft mathematic ก็ให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง

 

คือ ออกมาเป็น 0 มีแต่ wolfram alpha เท่านั้น

 

ที่คำตอบ ออกมาถูกต้อง เป๊ะ ๆ แต่นั่นก็ต้อง อาศัย

 

computer หลักของ ทาง wolfram ช่วยคำนวณ

 

(คำนวณ ผ่าน internet)

 

 

มันจะพอ มีหลัก ให้โจทย์ แบบนี้ คำนวณ ได้ง่ายขึ้น หรือเปล่า

 

หรือจำเป็นต้องให้ คอมพิวเตอร์ คำนวณ อย่างเดียวครับ

[Gop]

เออ วันนี้ มีโจทย์ ที่ยากต่อการทำจริง ๆ ครับ
 
คือเป็น โจทย์ สมการที่มี binomial มาเกี่ยวด้วย
 
ซึ่งที่จริง การแก้ binomial ก็ยาก อยู่แล้ว
 
อย่าง (1+x)^26 = 21.3461
 
แบบนี้ ถ้า ขยายทุกพจน์ ต้องอ้วกแน่
 
แต่ยังแก้ได้ด้วยการ ไปใส่ root ที่ 26 ให้แก่ 21.3461
 
แล้วได้ผล +- เท่าไหร่ ค่อยมาลบ 1 ออกอีกที
 
 
แต่พอเป็น โจทย์ที่ มันพันกัน แบบนี้
 
(200x + 1)(1+x)^26 - 310x -1 =0
 
แบบนี้ ถึงกับ มึนทีเดียว เพราะ ถ้าจะกระจาย เป็นพจน์
 
ก็อ้วกแตก แน่นอน ผมทดลอง คำนวณ
 
ด้วย microsoft mathematic ก็ให้คำตอบที่ไม่ถูกต้อง
 
คือ ออกมาเป็น 0 มีแต่ wolfram alpha เท่านั้น
 
ที่คำตอบ ออกมาถูกต้อง เป๊ะ ๆ แต่นั่นก็ต้อง อาศัย
 
computer หลักของ ทาง wolfram ช่วยคำนวณ
 
(คำนวณ ผ่าน internet)
 
 
มันจะพอ มีหลัก ให้โจทย์ แบบนี้ คำนวณ ได้ง่ายขึ้น หรือเปล่า
 
หรือจำเป็นต้องให้ คอมพิวเตอร์ คำนวณ อย่างเดียวครับ

เค้าใช้ binomial theorem กันไม่ใช่หรือครับ โดยมากแล้ว จะเก็บแค่สามสี่พจน์แรก แล้วก็ไม่สนใจพจน์ที่เหลือ เพราะค่ามันน้อยมากๆ แต่มีเงื่อนไขว่าค่า |x| ต้องน้อยกว่า 1 เพื่อให้พจน์หลังๆ ที่เลขชี้กำลังของ x สูงๆ มีค่าน้อยลงครับ

ผมว่าไม่ยากนะ อยากให้คุณทรงธรรมลองอีกทีครับ

[ทรงธรรม]

แบบที่คุณ Gop แนะนำ ก็ทำให้ ดูรูปแบบ

 

การคำนวณ ที่ง่ายขึ้น มากเลยครับ

 

ผมทำตาม โดย คำนวน (1 + x)^26 โดยเอาแค่ 4 พจน์ หน้ามา

 

คือ 1 + 26x + 325x^2 + 2600x^3

 

แล้วก็ทำการคูณ กับ (200x + 1)

 

แล้วมาหัก กับ 310x + 1

 

คงเหลือ

522600x^3 + 67600x^2 + 5525x = 84

ก็ ดูง่ายขึ้นเยอะ เลยครับ แต่ยังเกินความสามารถ

 

ที่จะหา โดยไม่ใช้ โปรแกรม ช่วยได้

 

แต่ยังดี ที่คราวนี้ microsoft mathematic คำนวณ เอง ได้แล้ว

 

ผลออกมา ได้ 0.01294729 ซึ่งต่างกับ คำตอบที่คำนวณ

 

จากสูตร excel โดยตรง ซึ่งเท่ากับ 0.01293174 เพียง 0.00001555

 

พอคำนวณ เป็น ค่าเปอร์เซนต์ ต่อปี ( x 26 ) ก็ต่างเพียง 0.000404

 

ก็ถือว่ารับได้ครับ

[Gop]

แนะนำเพิ่มอีกนิดนะครับ

ปกติแล้ว สมการที่เลขชี้กำลังสูงๆนั้น เค้าไม่ค่อยแก้กันตรงๆหรอกครับ มักจะใช้พวกวิธีทาง numerical อย่างเช่น Newton method เพื่อหาคำตอบ ถึงแม้คำตอบจะไม่ตรงเป๊ะ แต่จะใกล้เคียงค่าที่ถูกต้องมากๆ ( ถ้าทำดีๆ ) ที่ต้องทำแบบนี้เพราะว่า โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีสูตรสำหรับแก้สมการที่เลขชี้กำลังสูงกว่า 4 ครับ

[ทรงธรรม]

บันทึกเพิ่มเติม ความเข้าใจ

 

เกี่ยวกับ สูตร การหาราคา bond

 

จำนวนวันที่ใช้ ในการคำนวณ

 

ประกอบไปด้วย

 

              A                     dsc          E

||---------------------[]-------------------||

 

coupon-------------settlement--------coupon

 

 

ค่า E คือ จำนวนวันรวมในรอบ 1 period ของ coupon period

 

ค่า dsc คือ จำนวนวัน จาก settlement date ไปถึง วันที่ ครบกำหนด coupon period

 

ค่า A คือ จำนวนวัน นับจาก วันเริ่มต้น coupon period ถึง settlement date

 

 

โดยปกติ ถ้า วัน settlement ตรงกับ coupon period (ซึ่งต้องตรงกับ maturity date วันครบกำหนด)

 

ค่า dsc จะเท่ากับ E และ ค่า A จะเป็น ศูนย์

 

เพราะ A บวกด้วย dsc ต้องเท่ากับ E

 

 

settlement date ในที่นี้ คือวันครบกำหนด (คล้าย ๆ วันเกิด มีครบรอบ)

 

นับจากวัน ที่ ผู้ซื้อ bond ได้รับโอนสิทธิ ( settlement date จริง ๆ )

 

ครบกำหนด ทุก ๆ ปี ปีละครั้ง จนกว่าจะครบอายุ bond

Edited by ทรงธรรม, 7 มีนาคม พ.ศ. 2557 - 08:17.

[ทรงธรรม]

ในกรณี ถ้า ใน หนึ่งปี มี รอบ coupon period 2 รอบ

รอบแรก (มี settlement date ในรอบนี้)

      A         dsc  E

||--------[]--------||

     settlement

รอบสอง (ไม่มี settlement date ในรอบนี้)

                                       dsc            E

                        ||------------------------||
 

ใ้ห้ใช้เฉพาะ รอบแรก โดยไม่เอา รอบสอง มาเกี่ยวข้อง

 

เช่น ถ้า settlement date คือ 12/1/2006

 

และ maturity date คือ 17/5/2013 จะเกิดการ จ่าย

 

ดอกเบี้ย (จำนวนครั้งการจ่าย คือ N) 15 ครั้ง

 

แต่จะมีการจ่ายไม่เต็ม ในครั้งที่ 15 เป็นส่วนลด ของจำนวนวัน

 

ที่ไม่เต็ม coupon period ซึ่งในที่นี้ คือ 365/2 = 182.5

 

A ในที่นี้ คือ 57.5 เพราะ ระยะห่าง ระหว่าง วันจ่ายคือ 17/5 และ 17/5 + 182.5

 

ซึ่งประมาณ วันที่ 15/11 ของทุกปี จะอยู่ห่างจาก วันที่ 12/1 ในรอบถัดไป

 

57.5 วัน

 

และ dsc จะเท่ากับ E คือ 182.5 หักด้วย A คือ 57.5 เท่ากับ 125

 

สรุป dsc 125 A 57.5 E 182.5

Edited by ทรงธรรม, 7 มีนาคม พ.ศ. 2557 - 10:40.

[ทรงธรรม]

ตามความเข้าใจ จะหา ความคุ้มค่า ของราคา

 

ที่จะซื้อ bond แบ่งเป็น 3 ส่วน

 

 

ส่วนแรก ราคาหน้าตั๋ว bond สมมุติ 100

 

จะคำนวณ ความคุ้มค่า โดย

 

คำนวณ อัตราส่วน ผลประโยชน์ ที่ต้องการ (yeild )

 

โดยเริ่มคิดที่ ( 1 + yeild/frequency )

 

คือ เงินต้น =  1 บวกด้วย อัตราผลตอบแทนที่ต้องการ(ต่อปี)  หารด้วย จำนวนครั้งต่อปี

 

ก็จะเป็น เงินต้น + อัตราผลตอบแทนที่ต้องการต่อครั้ง

 

ยกกำลังด้วย (N-1) + (dsc/e)

 

N-1 คือ จำนวนครั้ง แบบเต็ม ๆ (coupon period) ที่จะนำไปคำนวณ การคิดดอกเบี้ย

 

dsc/e คือ เศษส่วน ของครั้งที่เหลือ เพราะจะเริ่มนับจาก วันที่ settlement ไปจนถึง

 

วันที่ของ coupond period

 

พอได้จำนวนครั้ง สุทธิ ที่แท้จริง ที่จะนำมาคำนวณ ดอกเบี้ย

 

ก็จับ จำนวนครั้ง มา ยกกำลัง จึงได้ ( 1 + yeild/frequency) ^ [ (N-1) + (dsc/e) ]

 

พอได้ อัตราส่วน สมบูรณ์ ที่ได้จากการคำนวณ เงินต้น + ดอกเบี้ย ยกกำลัง จำนวนครั้งแล้ว

 

ก็เอา redemption คือ จำนวนเงินหน้าตั๋ว มาตั้ง แล้วหารด้วย อัตรส่วนสมบูรณ์ ดังกล่าว

 

ก็จะได้ เป็นค่าปัจจุบัน (pv) ของ จำนวนเิงิน ที่ควรจ่ายต่อ ราคาหน้าตั่ว ( fv ค่าในอนาคต)

 

 

ขั้นตอนที่สอง

 

การคำนวณ ผลตอบแทน ที่ได้รายครั้ง

 

ซึ่งคำนวณจาก ราคาหน้าตั๋ว คูณด้วย อัตราดอกเบี้ย(ต่อปี) หน้าตั๋ว (rate ไม่ใช่ผลตอบแทนที่เราอยากได้)

 

คูณด้วย จำนวนวัน ใน coupon period

 

เช่นถ้าเป็น semi annual คือ จ่ายดอกเบี้ย ทุกครึ่งปี

 

coupon period เท่ากับ 182.5 วัน

 

สูตรคำนวณ คือ redemption x (rate/frequency)

 

 

ต่อไป คือการหา อัตราส่วนเปรียบเทียบ ผลตอบแทน

 

ที่เราอยากได้ ต่อ ดอกเบี้ยรายครั้งที่จ่ายให้

 

ว่าแต่ละครั้ง เราควรจ่าย เพื่อดอกเบี้ยนี้ ด้วยเงินเท่าใด (หา pv ของดอกเบี้ย)

[ทรงธรรม]

การหา อัตราส่วนเปรียบเทียบ ดอกเบี้ย

 

จะทำเป็น ลักษณะ อนุกรม ( series )

 

คือจะเริ่ม ต้นที่ k = 1 ไปจนถึง k = N

 

แล้วคำนวณ ตามสูตร ตัวตั้งคือ redemption x (rate/frequency)

 

เหมือนกัน ทุกครั้ง

 

แต่เปลี่ยนตัวหาร (denominator) โดยเปลี่ยนค่า k ไปทุกครั้ง

 

คือ [ 1 + (yeild/frequency) ] ^ [ (k-1) + (dsc/e) ]

 

 

ในครั้งแรก ๆ ที่จำนวน k ยังน้อยอยู่ อัตราผลตอบแทน

 

ที่ควรได้รับ เมื่อเทียบกับ ผลตอบแทนตาม อัตราหน้าตั๋วจริง

 

[redemption x (rate/frequency) ] / [ 1 + (yeild/frequency) ] ^ [ (k-1) + (dsc/e) ]

 

จะใกล้เคียงกัน เพราะจำนวนครั้งที่ยกกำลัง จะยังน้อยอยู่

 

 

พูดง่าย ๆ คือ ค่า pv ใกล้เคียงค่า fv

 

เพราะช่วงเวลาคำนวณ ดอกเบี้ย ยังน้อย

 

 

แต่ ถ้า ค่า k มากขึ้น ซึ่งเท่ากับ จำนวนช่วงเวลา มากขึ้น

 

ค่า pv จะยิ่งน้อยลงเรื่อย ๆ เมื่อเทียบกับ fv

 

เพราะอัตรายกกำลัง สูงขึ้น ตามจำนวนครั้งของ period

 

 

หลังจาก ได้ค่า pv ทั้งหมด N ครั้งแล้ว (ยอดที่ได้ ไม่เท่ากัน

 

จะค่อย ๆ ลดลงเรื่อย ๆ )

 

 

ก็นำผลรวม ของ series ดังกล่าว

 

มาเป็น pv รวม ของ ดอกเบี้ย ที่ได้รับ N ครั้ง

 

 

 

ขั้นตอนที่สาม

 

จะต้องมีการ คำนวณ ส่วนลด

 

เพราะเนื่องจาก ดอกเบี้ย ที่ได้ ในครั้งสุดท้าย

 

จะได้ไม่เต็ม period เพราะ จำนวนวัน ไม่เต็ม 182.5

 

ก็ต้อง ไปใช้ ค่า A คือ จำนวนวัน ที่การคำนวณ

 

ผลตอบแทน หน้าตั๋ว ไปไม่ถึง

 

 

ที่ต้องคำนวณ ส่่วนลดนี้ เนื่องจาก

 

ตอนเรา คำนวณ series ของดอกเบี้ยหน้าตั๋ว นั้น

 

เรา ใช้ ดอกเบี้ยหน้าตั๋ว คูณ ระยะเวลาใน period

 

ที่เต็มทุกครั้ง เป็นจำนวน N ครั้ง

 

แต่ความเป็นจริง ครั้งสุดท้าย จะไม่เต็ม period

 

 

ดังนั้น ต้องคิดส่วนลด ตรงนี้

 

โดย สูตร redemption x ( rate/frequency ) x A/E

 

 

ก็เป็นการคำนวณ ดอกเบี้ยจากหน้าตั๋ว

 

ที่เราจะถูกตัดออกไป ด้วยระยะเวลา ที่เกินจาก

 

maturity date ไปจนถึง settlement date (อีกรอบ)

 

 

 

พอเรา คำนวณ 3 ขั้นตอน สำเร็จ

 

ก็เอา ขั้นตอนแรก + ขั้นตอน ที่สอง - ขั้นตอนที่สาม

 

จึงเป็นสูตร

 

[ทรงธรรม]

มีคำถามอีกแล้วครับ คราวนี้ เรื่อง limit

 

คือ lim x-> infinity ของ f(x) = (1+x)^x

 

แล้วเค้า คำนวณ วิธีคือ

 

แปลงสภาพเป็น (transform) e^ [ lim x-> infinity  x ln ( 1 + 1/x) ]

 

แล้วมาเปลี่ยน form อีก โดย ให้ t เป็น 1/x จะได้ e^ [ lim t-> 0 ln ( 1+t) / t ]

 

แล้วก็ มาใช้ กฏ L'Hospital's เพื่อเลี่ยง 0/0

 

เป็น d ln( 1+t) / d t  แล้วหาร ด้วย dt/dt

 

ก็จะกลายเป็น e^ [lim t-> 0  1/ 1+t]

 

 

คือที่สงสัย คือ ตรง กฏ L'Hospital's นี่แหละครับ

 

พอดี ผมเรียนผ่าน ๆ แล้ว ตรง derivative นี่

 

ผมยังเรียนไปไม่ถึง (จำได้ผ่าน ๆ ตอนเรียน กับ อ.คณิต)

 

ในหนังสือ ยังอีกหลายบท

 

 

อยากให้ช่วย อธิบาย ว่า ทำไม ถึงกลายเป็น 1/ 1+t ได้อะครับ

Edited by ทรงธรรม, 7 มีนาคม พ.ศ. 2557 - 15:11.

[Gop]

d ln(x) / dx ได้ 1/x

ก็ใช้การ diff ตรงๆแหละครับ ตามสูตร L'Hopital มันเปลี่ยน limit ของผลหารเป็นลิมิตของ diff ของผลหารแทน อันบน dif ได้เป็น 1/(1+t) อันล่าง dif ได้เป็น 1 ก็ตรงไปตรงมานะครับ

ปล. โจทย์น่าจะเป็นหาลิมิตของ (1+x^-1)^x เมื่อ x เข้าใกล้อนันต์ ค่าที่ออกมาคือ e

[เรื่อยๆเอื่อยๆ]

แนะนำเว็บที่ใช้เขียนสมการแล้วเอาภาพมาแปะในบอร์ด เพื่อความง่ายต่อการอ่านทั้งคนถามและคนตอบครับ

http://rogercortesi.com/eqn/index.php  ใช้ syntax ของ Latex ซึ่งก็คล้ายๆกับในภาษาซีล่ะครับ มีตัวอย่างการใช้งานพร้ิอมเลยครับ 

 

อย่างเช่น \lim_{x \to \infty} f(x)=(1+x)^x ก็จะได้ลิงค์ภาพออกมาตามนี้

 

 

หรือ  e^{(1+x)^x} ก็ออกมาเป็น

 

 

เอามาฝากเผื่อสนใจครับ

Edited by เรื่อยๆเอื่อยๆ, 18 มีนาคม พ.ศ. 2557 - 19:52.

[ทรงธรรม]

คือช่วยดูให้หน่อยครับ ว่าของผม ทำถูกไหม

 

คือโจทย์ เค้าให้หา general form ของ

 

การคำนวณ derivative ของ function ที่ f^n ของ sqrt(x)

 

แล้วผมทำมาได้ แบบนี้ครับ

 

 

 

คือ ถ้า f^1 ก็ได้

 

 

ถ้า f^2 ก็ได้

 

[ทรงธรรม]

แต่มีปัญหา ตรงการ sum เพราะผม

 

ต้องการ sum ผลคูณ ของ (1-2i) มากกว่า ผลบวก

 

ของ (1-2i) จะใช้สัญลักษณ์ ยังไงดีอะครับ

 

แต่เฉลย เขาทำมาแบบนี้ ผมยังไม่แน่ใจ

 

ว่าที่เฉลย ถูกไหมครับ

 

 

ปล โอเค ผมทดสอบแล้ว

 

ถูกครับ ทีแรก ผมงง ถ้า n = 1 จะเกิด

 

zero factorial ไปดูมาแล้ว เท่ากับ 1

 

ถ้างั้นก็ถูกต้องแล้วครับ

 

 

โน้ต นิดหน่อย

 

ที่มา ของ 2n-2 น่าจะมาจาก

 

การตั้งตัวเลข ให้ได้ ตัวเลขชุด 2 เท่า

 

ของ n-1 เพื่อที่จะทำการกรอง ให้เหลือแต่

 

ตัวเลขคี่ ที่จะคูณกัน เช่นถ้า n เป็น 5

 

ก็จะได้ 8*7*6*5*4*3*2*1

 

แล้วทำการกรอง 8,6,4,2 ออกโดย การหารด้วย

 

2^(n-1) * (n-1)!

 

ตัวอย่าง n เท่ากับ 5 ก็ได้

 

2*4 * 2*3 * 2*2 * 2*1

 

ก็เป็น 8 * 6 * 4 * 2

 

ซึ่งเป็นเลขคู่ ที่ถูกกรองออกทั้งหมด ก็จะเหลือ

 

เลขคี่ แค่ 7 * 5 * 3 * 1

 

ตรงตามที่เรา ต้องการพอดี

 

ส่วน 2^n ใน denominator อีกตัว คือ

 

ตัวที่ควร จะอยู่ใน (1/2)^n เพียงแต่ เฉลย แยก

 

ตัว numerator ออกมาเป็น (-1)^(n-1) ก่อนแล้ว

 

เพื่อความสะดวก ในการสลับค่า ลบ กับ บวก ของ coefficient

 

 

เมื่อ 2^n ผนวกกับ 2^(n-1) จึงเป็น 2^(2n-1) ตามหลัก

 

การคูณกัน ของเลขยกกำลัง ฐานเดียวกัน

Edited by ทรงธรรม, 23 มีนาคม พ.ศ. 2557 - 12:55.

[ทรงธรรม]

วันนี้ ผมมี คำถาม จากเรื่อง implicit derivative อะครับ

คือ ผมทำโจทย์ ที่ให้ไว้ว่า

 

 

x^2y^2 - 2x = 3

 

แล้วผมทำ derivative ขั้นแรกได้

 

 

(1-xy^2) / (yx^2)

 

คราวนี้ เค้าให้ทำ 2 ขั้น ซึ่งขั้น 2 นี้ ยากมาก ๆ

 

เพราะมันจะต้องเอา y' ของขั้นแรก มาคูณด้วย

 

ตอนแรก ผมทำแล้ว งงมาก ผมเลยใช้วิธีลัด

 

ซึ่งไม่รู้วิธีนี้ จะใช้ได้ตลอด หรือเปล่า เลยถามว่า

 

ทำแบบนี้ มันผิดไหม นะครับ คือ ตอนแรก

 

ผมตัด ตัวส่วน ออกไปเลย กะว่า เดี๋ยวเอามาหารใหม่

 

เลยเหลือแค่

 

 

(1-xy^2)

 

แล้วเลยหา implicit derivative ของมันได้

 

 

-y^2 - 2xy y'

 

ซึ่งต้องเอามาคูณกับ y' อีกจนเป็น

 

 

(2xy^2-2)/x - (y^2x)/x

 

แล้วทอนลง เหลือ

 

 

(xy^2 - 2 )/x

 

แล้วค่อยเอา ตัวส่วนที่เรา ตัดออกไปก่อน มาหารคืนทีหลังเป็น

 

 

(xy^2 - 2 )/(yx^3)

 

ซึ่งตรงกับ เฉลย ที่คำนวณด้วย web ของ wolfram alpha widget

 

 

คือวิธีผมนี่ ทำแบบนี้ ได้ตลอด หรือเปล่า

 

ผมตัดตัวส่วน เพราะจะลด ความสับสน ไปได้มากเลย

 

แต่ไม่แน่ใจว่าทำแบบนี้ ได้ตลอด หรือเปล่า

Edited by ทรงธรรม, 5 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 14:31.

[Gop]

คือวิธีผมนี่ ทำแบบนี้ ได้ตลอด หรือเปล่า

 

ผมตัดตัวส่วน เพราะจะลด ความสับสน ไปได้มากเลย

 

แต่ไม่แน่ใจว่าทำแบบนี้ ได้ตลอด หรือเปล่า

 

ผมค่อนข้างมั่นใจว่า โดยทั่วไปแล้ว ทำไม่ได้ครับ แต่ยังแปลกใจว่ามันตรงกันจริงๆหรือเนี่ย?? เดี๋ยวจะลองเช็คอีกทีว่าทำไมมันถึงตรงกันได้

 

มีข้อแนะนำนิดนึง เวลาทำ implicit differentiation ให้ปล่อยไว้ในรูปสมการตรงๆเลยครับ ไม่ต้องจัดรูปให้ y' อยู่โดดๆก็ได้ อย่างตอนแรกเรา dif แล้วจะได้

 

2xy^2 + 2x^2yy' - 2 = 0

 

ตอจากนี้อาจจะหารสองออกเพื่อให้ง่ายขึ้น แต่ไม่ต้องไปจัดรูป y' ให้อยู่ในรูปผลหารครับ ให้ dif ต่อเลย ซึ่งจะใช้แต่สูตร dif ผลคูณซึ่งง่ายกว่า เดี๋ยวมันจะมี y'' โผล่ออกมาเอง แล้วค่อยจัดรูปทีหลังจะสะดวกกว่าครับ

[ทรงธรรม]

เค้ามีหลักการ หา inverse function

 

ของ พวก trigonometric function

 

ยังไงนะครับ

 

 

คือผมงง ในกรณี ที่ ภายในวงเล็บ มันมากกว่า

 

แค่ x เฉย ๆ นะครับ

 

 

อย่าง cos x ก็เป็น arccos x

 

แต่พอเป็น cos 2x มันดันเปลี่ยนเป็น

 

+- (1/2)arccos x ไปซะได้

 

ไม่รู้ว่า หากันแบบไหน

 

 

เราสามารถ ถอด 2 มาเป็นตัวคูณ แบบ

 

2 cos x อย่างนี้ ได้เลย หรือครับ คือ ถ้าถามผมนะ

 

ผมว่า มันไม่ได้ แต่ มันดูเหมือน จะทำแบบนั้นเลย

 

 

คือ สลับข้าง จาก 2 เป็น 1/2 แบบนี้

 

ละยังมี +- อีกด้วย คือมันยังไงกันนะครับ

[ทรงธรรม]

• 
• 
• 

 

[ทรงธรรม]

คือ โจทย์ เป็นงี้นะครับ

 

เค้าให้หา f ^(-1) ' (a) ของ function

 

cos 2x , 0 <= x <= pi/2

 

เมื่อ a = 1

 

ผมก็หา ใน inverse function คือ

 

+- (1/2) arccos (1)

 

ก็ได้ 0 ทั้งสองตัว ตัด 2 pi ไป เพราะไม่อยู่ใน domain

 

แล้ว ก็ ใช้สูตร 1/ f ' (0)

 

f ' = -sin(2x)*2 ก็แทนค่าไป

 

เป็น f ' (0) = -sin(2*0)*2 ก็ได้ 0

 

1/0 ก็ undefined

 

พอเอาไป แทนค่าใน tangent line equation

 

ของ inverse function ซึ่งก็คือ

 

+- (1/2) arccos (x) ก็เป็น

 

เมื่อ x = 1 และ y = 0

 

tangent line equation ก็เท่ากับ

 

undefined (x-1) + 0

 

ซึ่งก็คือ ไม่มี ใช่หรือเปล่าครับ

 

 

เพราะดูจาก ในกราฟ ก็ไม่น่ามีอะ

 

เพราะมันมี inverse function ตั้ง 2 เส้น แบบนั้น

 

 

หรือว่า ผมคำนวณผิด อะครับ

Edited by ทรงธรรม, 13 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 15:51.

[ทรงธรรม]

เอ้อ สงสัย ผมจะดูผิด ผมไปดู x = 0

 

ซึ่งเป็น ของ function คือ cos 2x

 

แต่ถ้าดูที่ inverse function คือ

 

+- (1/2) arccos x

 

นี่มัน x = 1 ก็ต้องดู ที่ โค้งที่ เส้นสีแดง เจอเหลือง นะครับ

 

 

เออ มันเป็น vertical ซึ่งก็คือ undefined จริง ๆ ด้วย

[ทรงธรรม]

เจอวิธี หา inverse function ที่เป็น เศษส่วนได้แล้ว

 

ให้ f (x) = (x+6)/(x-2)

 

ขั้นแรก แทนค่า f(x) ด้วย y

 

y = (x+6)/(x-2)

 

ต่อมา เมื่อเป็น inverse function หรือ f^(-1) (x)

 

ก็กลับจาก x เป็น y สลับกัน

 

x = (y+6)/(y-2)

 

จากนั้น ก็ เอาตัวส่วน มาคูณ x

 

x(y-2) = (y+6)

 

ก็คูณเข้าไปเป็น

 

xy - 2x = y+6

 

จับ y มาอยู่ด้วยกัน แล้วเอา x โดด ไปอยู่กับ constant

 

xy - y = 6 + 2x

 

factor y ออกมา รวมกัน เพื่อหาค่า ที่ไม่มี y ขณะเดียวกัน ก็ simplify x อีกฝั่ง

 

y(x-1) = 2(x+3)

 

จากนั้นก็ ให้เหลือ y โดด ๆ

 

y = (2(x+3))/(x-1)

 

พอเสร็จแล้ว ค่อย สลับ x และ y กลับไป

 

x = (2(y+3))/(y-1)

 

แต่พอเขียน เป็น inverse function สถานะ y จะกลายเป็น x

 

f ^-1 (x) = (2(x+3))/(x-1)

 

จะตรวจสอบ ว่าถูกต้องไหม ก็คูณ ด้วยค่า y ลงไปใน y นั้น

 

แต่เดิม y = (x+6)/(x-2) ก็ได้ แยกคูณ ที่ละอัน เศษก่อน ค่อยส่วน เพื่อกันงง

 

f ^ -1(x) เฉพาะเศษ = 2[(x+6)/(x-2) +3]

 

simplify ก็ได้  (2x+12)/(x-2) + 6

 

ทำส่วนให้เท่ากัน ก็คูณ (x-2) ไปที่ 6

 

ก็เท่ากับ (2x+12 + 6x - 12)/(x-2)

 

simplify ก็ได้ 8x/(x-2) เสร็จไปสำหรับตัวส่วน

Edited by ทรงธรรม, 13 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 15:43.

[namtanbood]

     

[ทรงธรรม]

ต่อไปเป็นตัวส่วน

 

f ^ -1(x) เฉพาะส่วน = (x+6)/(x-2)  - 1

 

ทำส่วนให้เท่ากัน ก็คูณ (x-2) ไปที่ 1

 

ก็เท่ากับ ( x+6 - x +2)/(x-2)

 

simplify ได้ 8/(x-2)

 

พอได้ทั้ง เศษ และ ส่วนแล้ว ก็จับมารวมกัน

 

เป็น [8x/(x-2)] / [8/(x-2)]

 

เนื่องจาก ตัวส่วนเป็น เศษส่วนเหมือนกัน ก็กลับเศษเป็นส่วน

 

สลับกัน แล้วนำไปคูณ

 

เป็น [{8x/(x-2)} * (x-2)] / 8

 

simplify เป็น 8x / 8 ซึ่งเท่ากับ เหลือ x โดด ๆ

 

ก็แสดงว่า inverse function นี้ ถูกต้อง

[Gop]

เอ้อ สงสัย ผมจะดูผิด ผมไปดู x = 0
 
ซึ่งเป็น ของ function คือ cos 2x
 
แต่ถ้าดูที่ inverse function คือ
 
+- (1/2) arccos x
 
นี่มัน x = 1 ก็ต้องดู ที่ โค้งที่ เส้นสีแดง เจอเหลือง นะครับ
 
 
เออ มันเป็น vertical ซึ่งก็คือ undefined จริง ๆ ด้วย

ตกลงทำไดัหรือเปล่าครับ? ผมอ่านแล้วงงๆ

[ทรงธรรม]

แหะ ๆ คือเรื่อง derivative

 

กับ tangent line equation ก็น่าจะพอได้แล้ว

 

แต่ยังข้องใจ การหา inverse function

 

ของ cos 2x อยู่อะครับ ว่าทำไม

 

 

ถึงได้เป็น +- (1/2) arccos x

 

 

เพิ่มเติมครับ วันนี้ เจอโจทย์

 

arcsin(3x) พอไปหา inverse function

 

wolfram ให้ (sinx) /3

 

ซึ่งก็ตรงกับโจทย์ ที่ให้เลยครับ เค้าให้จุดมาเป็น

 

( (sqrt2) /6 , pi/4 )

 

 

แต่อันนี้ เทียบกับอันบน ยังพอเข้าใจนิดหน่อย

 

คือ เอา 3 ออกมา กลับจากคูณ เป็นหาร

 

แต่ไอ้เรื่อง สัญลักษณ์ +- นี่ยังงง อยู่เลย

Edited by ทรงธรรม, 14 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 12:15.

[ทรงธรรม]

โน้ต ในข้อที่ งง สุด ๆ

 

โจทย์ให้มา x = y^3 - 7y^2 + 2 เมื่อ ให้จุด (-4 , 1) ให้หา dy/dx

 

ปกติ จะใช้ implicit derivative

 

แต่ครั้งนี้ จะให้ใช้ การหา derivative

 

จาก inverse function

 

ก็เลยต้องตีค่า เทียบกับ ถ้า f (x) = x^3 - 7x^2 + 2

 

แล้วหา derivative ของ inverse function ซึ่งก็คือ

 

f^(-1) ' (x) ของ function x^3 - 7x^2 +2 กลับด้านเป็นจุด ( 1, -4)

 

ปกติ จาก อันนี้ เราหา dx/dy เพราะเวลาจะหา

 

เราจะใส่ค่า y (-4) ใน จุดที่จะ หาค่าจาก inverse function

 

พูดง่าย ๆ y ทำหน้าที่ สลับกับ x

 

เพื่อหา ค่า x( 1 ในฐานะ y ใน inverse function) มาคำนวณ derivative อีกที

 

โดย สูตร dy/dx = 1/ (dx/dy)

 

 

ขยายความที่ต้อง หา dx/dy ก่อน เพราะ y ใน dx/dy

 

ทำหน้าที่ x ใน inverse function

 

 

จากโจทย์ ดังกล่าว ที่ให้หา dy/dx เมื่อ ให้จุด ( -4,1)

 

ของ function x = y^3 - 7y^2 + 2

 

(เปลี่ยน x ขึ้นทีละหนึ่ง มีผลต่อ y ให้เป็นเท่าไหร่)

 

ก็เท่ากับ ให้หา dy/dx ของ inverse function เมื่อ ให้จุด ( 1, -4)

 

ของ function y = x^3 - 7x^2 + 2

 

(เปลี่ยน y ขึ้นทีละหนึ่ง มีผลต่อ x ให้เป็นเท่าไหร่

 

ก็คือ การสนใจใน inverse function ของ x นั่นเอง )

Edited by ทรงธรรม, 14 พฤษภาคม พ.ศ. 2557 - 14:06.